EL NUMERÓLOGO Y EL FILÓSOFO

El Departamento de Matemáticas en cabeza de la Docente Margarita Gómez Dugarte preparó el siguiente Plan Lector :  Místicos:  El numerólogo y el filósofo.

PLAN LECTOR DE MATEMÁTICAS – GRADO NOVENO

Místicos: El numerólogo y el filósofo

Tomado del libro (¿ES DIOS UN MATEMÁTICO? de Mario Livio)

Capitulo II

Pitágoras

Pitágoras (ca. 572-497 a.C.) fue quizá la primera persona que fue a la vez un influyente filósofo natural y un carismático filósofo espiritual.  Para los pitagóricos, los números eran entidades vivas y principios universales imbuidos en todo, desde los cielos a la ética de los hombres.  Así, los números no eran simples herramientas para denotar cantidades: los números debían ser descubiertos, y eran los agentes formativos que actuaban en la naturaleza.  Todo el universo, desde los objetos materiales como la Tierra a los conceptos abstractos como la justicia, era número de extremo a extremo.

Que alguien quedase fascinado por los números no es quizá sorprendente de por sí. Después de todo, incluso los números más simples, los que aparecen en la vida cotidiana, tienen propiedades interesantes.  

Por ejemplo, los días del año: 365. Es fácil comprobar que 365 es la suma de tres cuadrados consecutivos: 365 = 10² + 11² + 12².  Pero no acaba ahí: 365 es también igual a la suma de los dos cuadrados siguientes 365 = 13² + 14².  

O fijémonos en los días del mes lunar: 28.  Este número es la suma de todos sus divisores (los números que pueden dividirlo sin dejar resto): 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.  Los números que cumplen esta propiedad en especial se denominan números perfectos  (los cuatro primeros números perfectos son 6, 28, 496, 8.218).  Observe que 28 es también la suma de los cubos de los dos primeros números impares: 28 = 1³ + 3³.  

Incluso un número tan vulgar como 100 posee sus propias peculiaridades: 

100 = 1³ + 2³ + 3³ + 4³.

La obsesión de los pitagóricos por los números puede deberse a su preocupación por dos actividades aparentemente aisladas: los experimentos con música y la observación de los cielos.

Para comprender cómo se materializó esta misteriosa conexión entre los números, los cielos y la música, debemos empezar por la interesante observación de que los pitagóricos poseían una forma de representar los números mediante guijarros o puntos, Por ejemplo, los números naturales 1, 2, 3, 4… los representaban con guijarros ordenados en forma triangular (como se muestra en la figura 1).

Concretamente, al triángulo que se forma con los cuatro primeros números enteros (un triángulo de diez guijarros) lo denominaron tetraktys (que significa «Cuaternario» o «con la cualidad de cuatro»), y para los pitagóricos simbolizaba la perfección y los elementos que la componen.  Pitágoras pide a una persona que cuente y mientras lo hace, «1, 2, 3, 4», Pitágoras lo interrumpe: «¿Lo ves? Lo que para ti es 4 es en realidad 10.  El Tetraktys aparecía de forma inesperada incluso en el enfoque científico de la música, el Tetraktys podía representar también las proporciones matemáticas subyacentes a la armonía de la escala musical.

Pitágoras y los pitagóricos desempeñaron en la historia de la astronomía un papel que, aún sin ser esencial, no era nada desdeñable.  Estos entusiastas observadores del cielo nocturno no podían ignorar las propiedades más evidentes de las constelaciones: la forma y el número. Cada constelación se caracteriza por el número de estrellas que la componen y por la figura geométrica que estas estrellas forman.  Los pitagóricos quedaron tan cautivados por estas relaciones entre figuras geométricas, constelaciones y armonías musicales con los números, que éstos se convirtieron para ellos tanto en los ladrillos con los que estaba construido el universo como en los principios en los que se basaba su propia existencia.  No es sorprendente que la categórica máxima de Pitágoras fuese: «El número es la esencia de todas las cosas.

Obsérvese que, al añadir siete guijarros dispuestos en forma de ángulo recto (un gnomon) a un triángulo de 3 x 3 se obtiene un cuadrado compuesto por dieciséis (4x4) guijarros.  Se trata de la representación figurativa de la propiedad siguiente: en la secuencia de números enteros impares 1, 3, 5, 7, 9…,  la suma de cualquier cantidad de números sucesivos (empezando por el 1) da siempre como resultado un número cuadrado. Por ejemplo: (Figura2)

1 = 12 1 + 3 = 4 = 22 1 + 3 + 5 = 9 = 32 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52, etc. Figura  2

Para los pitagóricos, esta relación íntima entre el gnomon y el cuadrado al que «abraza» constituía un símbolo del saber, en donde el cognoscente «abraza» lo conocido.  Los números no se limitaban, pues, a ser una descripción del mundo físico, sino que se suponía que eran así mismo la raíz de los procesos mentales y emocionales.

El número cuadrado asociado con los gnomons podría haber sido también el precursor del famoso Teorema de Pitágoras.  Esta célebre afirmación matemática establece que, en cualquier triángulo rectángulo (Figura 3):  el área de un cuadrado formado a partir de la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados formados a partir de los otros dos lados.

Como se muestra en el gnomon de la Figura 2,  al agregar un  número  de  gnomon  cuadrado (9=3²)  a un cuadrado de  4x4  se forma, efectivamente, un nuevo cuadrado  de  5x5:  3²+4²=5².  Los números 3, 4, 5 pueden entonces representar las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo.  Los números enteros que tienen esta propiedad (por ejemplo, 5, 12 y 13, ya que 5²+12²=13²) se denominan «tripletes pitagóricos»

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