El juego de Penney: cómo tirar una
moneda al aire y ganar (casi) siempre
En
la vida, ir primero es normalmente mejor: puedes conseguir asiento en el metro,
escoger la mejor butaca en el cine, estar cerca del escenario en un concierto…
Hoy, sin embargo, vamos a descubrir un juego de azar en el que elegir el
primero no es la mejor opción. Se
trata del juego de Penney, publicado por el matemático Walter Penney en el
Journal of Recreational Mathematics allá por el año 1959. Un juego muy curioso
en el que, si somos listos y elegimos bien nuestra jugada en función de la de
nuestro adversario, podremos ganar casi siempre al tirar una moneda al aire.
El planteamiento del
juego de Penney
Al
igual que en otros juegos de nuestra serie de problemas matemáticos clásicos,
el juego de Penney está basado en el lanzamiento sucesivo de una moneda (como
en la paradoja de San Petersburgo). Y es que una moneda es el paradigma de la
equiprobabilidad en el azar, pues si tiramos una al aire, la probabilidad de
que salga cara (C) es la misma de que salga sello (X).
El
juego en cuestión está planteado de la siguiente manera: Dos jugadores escogen
cada uno entre las ocho posibles combinaciones de lanzar una moneda al aire
tres veces, que son las siguientes: CCC, CCX, CXC, XCC, CXX, XCX, XXC y XXX. Después se va tirando la moneda una y otra vez
hasta que salga la combinación de uno de los dos jugadores, que será el
ganador, siendo C: cara y X: sello.
C
: Cara X : Sello
|
|
COMBINACIÓN
|
PROBABILIDAD
|
CCC
|
P =
 = 0,125 =12,50 % |
CCX
|
P =
= 0,125 =12,50 % |
CXC
|
P =
= 0,125 =12,50 % |
CXX
|
P =
= 0,125 =12,50 % |
XCC
|
P =
= 0,125 =12,50 % |
XCX
|
P =
= 0,125 =12,50 % |
XXC
|
P =
= 0,125 =12,50 % |
XXX
|
P =
= 0,125 =12,50 % |
LAS DIFERENTES COMBINACIONES POSIBLES AL LANZAR UNA
MONEDA 3 VECES
Así,
por ejemplo, si el jugador 1 elige XCC y el jugador 2 CXC, y la sucesión de tiradas sale CXX CXC,
es claro que habrá ganado el jugador 2, porque ha aparecido su combinación
antes que la del jugador 1, que aún no ha aparecido.
A
primera vista, parece indiferente qué combinación escojamos, pues todas tienen
las mismas posibilidades de ocurrir (un 12,5%). Es igual de probable sacar tres caras seguidas
(CCC) como sacar primero una cara, luego sello y luego otra cara (CXC); sucesos
equiprobables. Sin embargo, el juego tiene truco.
El truco del juego de
Penney para tener más probabilidades de ganar
Imaginemos la siguiente jugada: mi adversario ha elegido
la combinación XXX (tres sellos) y yo, que soy muy listo, la
CXX (cara y después dos
sellos). De esta manera, tengo un
87,5% de probabilidad de ganar, mientras que mi oponente solo un 12,5%. ¿Cómo
es esto posible?
Muy
sencillo, porque en el momento en el que salga una cara, ya no podrá ganar,
pues necesitaría tres sellos seguidos, y a mí me bastan dos sellos después de
que salga cara para lograr mi combinación (CXX). Por ejemplo, yo ganaría con XXCXX, XCXX, CXCXX,
CXX, CCCXX, XCCXX,
CCXX … Su única opción es que las tres
primeras tiradas sean sello (XXX). Solo una combinación entre ocho posibles, un
12,5%.
Esta
diferencia tan grande de probabilidades no se da con todas las combinaciones,
pero igualmente podemos obtener una ventaja si escogemos adecuadamente. Hasta hay un truco para poder elegir
correctamente la combinación más provechosa en función de la que ha
seleccionado nuestro contrincante.
Esta
es una tabla con las diferentes combinaciones de jugadas que pueden escoger el
jugador 1 y el jugador 2, y las probabilidades de ganar que tiene el
jugador 2 en función de la elegida por su oponente. Están resaltadas las más favorables para el
jugador 2.
JUGADOR 1
|
||||||||
JUGADOR 2
|
CCC
|
CCX
|
CXC
|
CXX
|
XCC
|
XCX
|
XXC
|
XXX
|
CCC
|
50 %
|
40 %
|
40 %
|
13 %
|
42 %
|
30 %
|
50 %
|
|
CCX
|
50 %
|
67 %
|
67 %
|
25 %
|
63 %
|
50 %
|
70 %
|
|
CXC
|
60 %
|
33 %
|
50 %
|
50 %
|
50 %
|
38 %
|
58 %
|
|
CXX
|
60 %
|
33 %
|
50 %
|
50 %
|
50 %
|
75 %
|
88 %
|
|
XCC
|
88 %
|
75 %
|
50 %
|
50 %
|
50 %
|
33 %
|
60 %
|
|
XCX
|
58 %
|
38 %
|
50 %
|
50 %
|
50 %
|
33 %
|
60 %
|
|
XXC
|
70 %
|
50 %
|
63 %
|
25 %
|
67 %
|
67 %
|
50 %
|
|
XXX
|
50 %
|
30 %
|
42 %
|
13 %
|
40 %
|
40 %
|
50 %
|
|
Esta
información también es útil si somos nosotros los que elegimos primero,
debiendo seleccionar aquellas combinaciones que den menos ventaja a nuestro
adversario o con las que, en caso de que desconozca el truco, tengamos más probabilidades
de que elija una jugada que nos sea favorable. Ese es el caso de las
combinaciones XCC y CXX, contra las que solo existe una jugada desfavorable
(XXC y CCX respectivamente).
Lectura
tomada de: https://www.ennaranja.com/economia-facil/el-juego-de-penney-como-tirar-una-moneda-al-aire-y-ganar-casi-siempre/
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