Disfruta del Plan Lector: Matemáticas, redes y creencias desarrollado por la Docente del Instituto de Promoción Social, Mariela Arciniegas. El objetivo: desarrollar el hábito lector en los jóvenes.
MATEMÁTICAS, REDES Y CREENCIAS
Vivimos en un mundo altamente interconectado: la interconexión en las comunicaciones es tal que casi instantáneamente nos enteramos de lo que ocurre en cualquier rincón del planeta; los sistemas económicos nacionales se encuentran tan altamente interrelacionados que la estabilidad económica mundial se ve afectada por lo que ocurre en la economía de un país o región; la tecnología misma constituye actualmente un sistema altamente interconectado; las redes sociales constituyen comunidades virtuales con un alto grado de interconexión. Éstas últimas involucran la acción agregada –no necesariamente coordinada- de individuos, cuya conducta colectiva depende de las decisiones tomadas en cada nodo de la red; conducta colectiva que a su vez influye en las acciones de cada nodo, dando origen a una dinámica compleja cuyo entendimiento requiere del empleo de cierta clase de modelos matemáticos.
Aunque debe señalarse que, si bien las matemáticas
son centrales, el estudio de estos fenómenos es de naturaleza interdisciplinaria,
involucrando la intervención de disciplinas como la economía, la sociología, la
teoría de la información y las ciencias de la computación. Pero son las
matemáticas las que aportan el elemento integrador en el estudio de las redes.
Las matemáticas básicas requeridas para un primer
análisis de estos fenómenos son la teoría de grafos y la teoría
de juegos. La primera se enfoca al análisis de la estructura de las redes,
y la segunda al de la dinámica de las mismas. Los modelos pueden ser de
tipo cuantitativo o cualitativo, o bien una
combinación de ambos tipos.
Podemos imaginar una red social como un conjunto de
“agentes” (individuos, instituciones, empresas…) entre quienes se establece
algún tipo de relación (de amistad, de negocios, de intercambio de información,
etcétera). En un grafo –o gráfica- los
agentes son representados por puntos, y la relación que guardan entre sí por
líneas que unen los puntos cuando entre los agentes, representados por estos
puntos, existe la relación. Los puntos
en el grafo son llamados “nodos” y las líneas que unen los nodos se denominan
“arcos”.
Una vez comprendidos los elementos básicos de la
teoría de grafos, es posible aplicar ésta al estudio de fenómenos de gran
complejidad, como sería el caso de las redes sociales que se establecen entre
integrantes del crimen organizado, el poder público y el sector empresarial,
situación por demás conocida pero poco analizada desde la perspectiva de las
redes sociales.
Este campo de
estudio es tan extenso y fascinante que extraña su escaso cultivo en nuestro
medio. Este es un territorio para que incursionen en él tanto practicantes de
las ciencias sociales, como de las ciencias exactas, brindando oportunidades
para el trabajo tanto en la matemática pura como en la aplicada. Para quienes
tienen interés en aplicaciones de beneficio inmediato, mencionaré el empleo de
estos modelos en el estudio de mercados, en el de fluctuaciones de precios, de
procesos epidémicos y en la caracterización de la intención del voto en una
elección y su plausible predicción, permitiendo en cada caso el diseño de
políticas de acción que permitan modificar –dadas ciertas condiciones- la
dinámica de dichos procesos.
Habrá que agregar lo que técnicamente se conoce
como redes de creencias, modelos matemáticos que representan
nuestras creencias, y sus mutuas relaciones, acerca de un fenómeno determinado;
permitiendo cierta cuantificación sobre las mismas y conocer la manera en
que un cambio en una de ellas modifica al resto.
Un ejemplo muy concreto de aplicación de redes de
creencias es el modelo para calcular el riesgo (posibilidad o “creencia”) de un
accidente en el sistema de enfriamiento de una planta nucleoeléctrica. La red
representa las creencias (que pueden ser probabilidades) en una falla en cada
uno de los componentes del sistema y sus relaciones mutuas; pueden incorporarse
también las fallas producidas por agentes externos: operadores, fenómenos
naturales, etcétera. De esta red, y las cuantificaciones correspondientes puede
calcularse la creencia (o probabilidad) de un accidente, y también el peso, o
influencia, que cada nodo (componente o agente externo) tiene en el evento, lo
cual posibilita el diseño de políticas preventivas. (La descripción completa y
detallada de este problema puede encontrarse en: R. G. Almond: Graphical
belief modeling. Chapman & Hall, 1995)
Si todavía hay quien pregunte sobre la utilidad o
el beneficio de las matemáticas, habrá que responderle con el mismo gesto y las
mismas palabras con que Platón, a la entrada de su Academia, respondió a
idéntica pregunta. Dirigiéndose a uno de sus esclavos, le instruyó: “Dale unas
monedas a este hombre que quiere beneficiarse de las matemáticas”.
UNA BREVE HISTORIA DE
LAS FUNCIONES
En las matemáticas actuales el concepto de función se define del modo siguiente:
“Sean
A y B conjuntos. Se llama función
entre A y B a cualquier relación establecida entre los elementos de A y B de tal modo que a cada elemento de A le corresponde un único elemento de B”
La
pregunta que cabe hacerse ahora es: ¿cómo se ha llegado hasta aquí? Es importante
entender que el concepto se desarrolló con el paso del tiempo; su significado
fue cambiando y también la forma en que se definía, ganando precisión a través
de los años.
Lo más apropiado, quizás, sea comenzar en Mesopotamia. En las matemáticas babilónicas encontramos tablas con los cuadrados, los cubos y los inversos de los números naturales. Estas tablas sin duda definen funciones de N en N o de N en R, lo que no implica que los babilonios conocieran el concepto de función. Conocían y manejaban funciones específicas, pero no el concepto abstracto y moderno de función.
En el antiguo Egipto también aparecen ejemplos de usos de funciones particulares. Una tabla con la descomposición de 2/n en fracciones unitarias para los impares n desde 5 hasta 101 aparece en el Papiro Rhind o Papiro Ahmes, de unos 4000 años de antigüedad considerado como el primer tratado de matemáticas que se conserva.
Detalle del Papiro Ahmes
En
la Grecia clásica también manejaron funciones particulares —incluso en un
sentido moderno de relación entre los elementos de dos conjuntos y no sólo de
fórmula— pero es poco probable que comprendieran el concepto abstracto (y
moderno) de función.
En la revolución científica iniciada en el siglo XVI los científicos centraron su atención en los fenómenos de la naturaleza, poniendo énfasis en las relaciones entre las variables que determinaban dichos fenómenos y que podían ser expresadas en términos matemáticos. Era necesario comparar las variables, relacionarlas, expresarlas mediante números y representarlas en algún sistema geométrico adecuado.
Galileo
Galilei (1564-1642) pareció entender el concepto de función aún con mayor claridad. Sus estudios sobre el
movimiento contienen la clara comprensión de una relación entre variables.
Entre las funciones que estudió Galileo destacan, por sus sorprendentes
consecuencias:
Casi
al mismo tiempo que Galileo llegaba a estas ideas, René Descartes (1596- 1650)
introducía la geometría analítica.
Descartes desarrolló y llevó a sus fundamentales consecuencias laEs ideas que
siglos atrás se habían usado para representar en el plano relaciones entre
magnitudes. Ahora cualquier curva del plano podía ser expresada en términos de
ecuaciones y cualquier ecuación que relacionara dos variables podía ser
representada geométricamente en un plano.
A
finales del siglo XVII aparece por primera vez el término función. En palabras de Johann Bernoulli, una función es “una cantidad formada de alguna manera a
partir de cantidades indeterminadas y constantes”. Pero no fue hasta 1748
cuando concepto de función saltó a la
fama en matemáticas. Leonhard Euler,
uno de los grandes genios de las matemáticas de todos los tiempos,
publicó un libro, Introducción al
análisis infinito, en el definió función como:
“Una función de una
cantidad variable es una expresión analítica compuesta de cualquier manera a partir
de la cantidad variable y de números o cantidades constantes”
Pero Euler no define expresión analítica. Así que poco después, en 1755, tuvo que precisar su definición:
“Si algunas cantidades dependen de otras del tal modo que si estas últimas cambian también lo hacen las primeras, entonces las primeras cantidades se llaman funciones de las segundas”
Retrato de Leonhard Euler
Pero la cosa seguía sin estar clara del todo: ¿cómo es esa
dependencia?, ¿cómo expresarla, calcularla o representarla?, ¿cómo deben
cambiar los valores de las variables?, ¿cuántas variables pueden intervenir?,
Muchos
matemáticos abordaron el problema de dar una definición precisa y adecuada de
función. Y así se pasaron casi dos siglos, puliendo poco a poco el concepto,
hasta que, ya en el siglo XX, Édouard Goursat dio en 1923 la definición que
aparece en la mayoría de los libros de textos hoy en día:
“Se dice que y es
una función de x si a cada valor de x
le corresponde un único valor de y. Esta correspondencia se indica mediante la
ecuación y = ƒ(x)”
Fuente: https://matematicasiesoja.files.wordpress.com/2013/10/lec_brevehistoriafunciones_profe.pdf
DESPUÉS DE REALIZADAS LAS LECTURAS, CONTESTE LAS
PREGUNTAS:
1. La expresión
con la que inicia la lectura “Vivimos en un mundo altamente interconectado”, el
autor hace referencia a:
A. la interconexión en gran parte, por no decir en todas las circunstancias y acciones mundiales, nos permiten la comunicación casi instantánea desde cualquier rincón del planeta en amplios esquemas.
B. las conexiones han mejorado, gracias a las redes inalámbricas.
C. es muy fácil hacer llamadas personales a cualquier lugar del mundo.
D. las ciencias exactas han mejorado su capacidad de aplicación.
2. Un ejemplo de
la alta conectividad en que vive el mundo hoy, es la existencia de redes
sociales, con múltiples seguidores, cuya conducta colectiva depende de las
decisiones individuales de sus seguidores y a su vez la colectividad influyendo
en cada individuo que participa en la red. Esto genera una dinámica compleja que,
para ser entendida, es necesario:
A. el estudio de fenómenos naturales.
B. el comportamiento económico de un país en particular.
C. el empleo de ciertos modelos matemáticos.
D. integrar el uso de redes
3. En el texto, el
autor, señala en varias ocasiones “estos fenómenos”, queriendo referirse a:
A. Los medios de comunicación.
B. Las comunidades virtuales.
C. Los sistemas económicos nacionales de un determinado estado.
D. La tecnología que es un sistema altamente interconectado
4. Las matemáticas
básicas que se necesitan para un primer análisis de la dinámica compleja que
representa las redes sociales, son:
A. Tecnología y comunicación.
B. El algebra y el cálculo.
C. El análisis matemático y la calculadora.
D. La teoría de grafos y la teoría de juegos.
5. En una red
social, se conforma un conjunto de individuos, instituciones, etc., entre los
que se establecen relaciones de diferente tipo. En un grafo (gráfica):
A. Los agentes son las líneas de conexión y su relación son sus respectivos puntos.
B. Los integrantes de la red son conjunto de partida y sus relaciones son conjunto de llegada.
C. Los agentes son los “nodos” y las relaciones entre ellos son los “arcos”.
D. Los integrantes de la red son conjunto de llegada y sus relaciones son conjunto de partida.
6. Un ejemplo de
la complejidad de los procesos analizados por medio de grafos, son las redes
sociales que permiten comprender la forma en que el comportamiento individual,
o grupal, es afectado por expectativas a cerca del comportamiento de otras
personas o grupos. Existe situaciones en las que un grupo de personas debe
decidir simultáneamente sobre una acción en particular, así no haya un acuerdo
explícito del mismo. Un ejemplo muy común, es:
A. la comunicación entre integrantes del crimen organizado.
B. el poder público.
C. la relación entre los entes del sector empresarial.
D. el problema de elegir cuál ruta ha de tomarse cuando se circula en la red formada por las calles de una ciudad, particularmente cuando el tráfico es lento.
7. El autor del
texto, finalmente escribe:
-
Si todavía hay quien pregunte sobre la utilidad o
el beneficio de las matemáticas, habrá que responderle con el mismo gesto y las
mismas palabras con que Platón, a la entrada de su Academia, respondió a
idéntica pregunta. Dirigiéndose a uno de sus esclavos, le instruyó: “Dale unas
monedas a este hombre que quiere beneficiarse de las matemáticas”.
Explique
brevemente lo que el autor quiso expresar para concluir su texto:
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RESPECTO DE LA SEGUNDA LECTURA:
8.
En el texto dice
que los babilonios no conocían el concepto moderno y abstracto de función. Esto
se afirma, porque:
A. ellos solo trabajaban los conceptos de conjunto de partida y de llegada, y permitían que los elementos que conformaban estos conjuntos se relacionaran de cualquier forma.
B. trabajaban las funciones a través, de los inversos, cuadrados y cubos de los números naturales.
C. las funciones matemáticas solo son aplicables al mundo real y no a lo invisible y subjetivo.
D. solo utilizaban los números naturales y no los números reales.
9. ¿Qué
relación existe entre el concepto actual de función matemática y el concepto de
función propuesto por Nicolas Oresme en el siglo XIV?
A. Ninguna. Porque en el siglo XIV no se sabía de la existencia de las funciones matemáticas.
B. El uso sistemático de diagramas para representar magnitudes variables en un plano.
C. La descripción de las leyes de la naturaleza mediante relaciones en las que unas magnitudes están conectadas unas con otras, así como, la variable dependiente está conectada con la variable independiente.
D. La explicación de los fenómenos naturales a través del modelo matemático de las funciones.
10. La geometría analítica de René Descartes
permitió que cualquier curva del plano pudiera ser expresada en términos de
ecuaciones y cualquier ecuación que relacionara dos variables podía ser
representada geométricamente. La semejanza entre la geometría analítica y el
concepto actual de función, es:
A. La geometría analítica nos permite dar formas geométricas a una función.
B. La posibilidad que mediante un plano cartesiano podamos relacionar los conjuntos de partida y de llegada, y así, determinar si es una función, además de clasificarla.
C. La habilidad de ubicar las parejas ordenadas dentro del plano cartesiano.
D. Reconocer el aporte que hizo Rene Descartes a la geometría y al cálculo diferencial.
11. Una pulsera de plata antigua comprada
hoy en Usd 2000 aumenta su valor linealmente con el tiempo, de modo tal que a
los quince años valdrá usd 2300. Escriba la fórmula que expresa el valor V de
la pulsera en función del tiempo.
A. v(t) = 15t
B. v(t) = 15t + 2000
C. v(t) = t + 2000
D. v(t) = 15t + 2300
12. Cómo interpreta usted, el enunciado:
“toda función es una relación, pero no toda relación es una función”
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13. Exprese
su opinión respecto de las dos lecturas del presente plan lector. ¿Encuentra
alguna relación entre ellas? ¿Cuál o cuáles?
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Y si prefieres puedes descargar este Plan Lector: Matemáticas, redes y creencias.
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