Hoy les presentamos un Plan Lector preparado por la Docente Margarita Gómez Dugarte, del Instituto de Promoción Social, de Piedecuesta y que busca incentivar la lectura en los estudiantes y mejorar su comprensión lectora.
LOS TRIÁNGULOS
1.
La
ciencia más antigua es la geometría.
Se podría decir que la geometría es varios miles de años
más antigua que la aritmética: sin lugar a dudas la geometría ha sido la
primera verdadera ciencia construida por el hombre, la única verdadera ciencia
de la antigua Grecia: ya adulta cuando la física, la química, la biología y la
geología todavía no habían nacido, y la medicina daba sus primeros pasos. Sólo
la astronomía estaba bastante desarrollada, pero ¿qué era la astronomía de los
caldeos, de los egipcios, de los griegos, sino geometría?
Navegación implica astronomía y astronomía
implica geometría: he aquí la razón por la que los antiguos pueblos navegantes
del Mediterráneo tuvieran que convertirse en excelentes geómetras. Pero también
arquitectura implica geometría; y sobre todo implica geometría la agrimensura. En efecto, agri-mensura es la traducción literal, en latín, del griego geometría: en español, medida (metría) del suelo (o sea de la tierra, que en griego se
dice ge: recordemos a
Gea, la diosa de la Tierra).
Los griegos tenían un verdadero culto por la
geometría, que llevaron a un alto grado de perfección. La consideraron, como se suele decir hoy día,
una ciencia formativa, es decir una ciencia que acostumbra al hombre a razonar,
que afina la inteligencia; incluso decían que no había que estudiarla con fines
prácticos, sino para el «honor de la mente humana». Platón, el gran filósofo
discípulo de Sócrates, en su escuela (la Academia), donde se discutían los más
difíciles problemas de la lógica, de la política, del arte, de la vida y de la
muerte, había hecho escribir encima de la puerta: «No entre el que no sea
geómetra». También decía Platón que «Dios
mismo geometriza», y probablemente con esto
quería afirmar que el universo está constituido según formas y leyes
geométricas.
Este culto a la geometría como ciencia soberana,
que es la clave para la comprensión de todo el universo, estaba aún muy vivo en
el gran Galileo Galilei (1564-1642). He
aquí lo que escribía Galilei: «Este grandísimo libro que continuamente tenemos
abierto ante los ojos (hablo del universo), no se puede entender si antes no se
aprende a entender la lengua, y a conocer los caracteres en los cuales está
escrito. Está escrito en lengua
matemática y los caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas...». No obstante, la geometría griega permaneció
fiel al significado literal de su nombre: los estudiosos griegos se ocuparon
sobre todo de las medidas: medidas de longitudes, de áreas y de volúmenes. Para medir desarrollaron algunas teorías que
aún hoy se aprenden en las escuelas más o menos de la misma forma en que fueron
enunciadas hace dos mil doscientos años por Euclides: la ley de la semejanza y la ley de la equivalencia. Realmente no podemos hacer una exposición ordenada de
ellas (por otro lado, ya se da en la escuela); pero querríamos, con algún
ejemplo, hacer ver su alcance y su genialidad.
2.
Tales
mide la pirámide de Keops con un bastón, dos sombras y una idea.
Cuando el sabio Tales de Mileto, hacia el año
600 a.C, se encontraba en Egipto, un enviado del faraón le pidió, en nombre del
soberano, que calculara la altura de la pirámide de Keops. En efecto, corría la
voz de que el sabio sabía medir la altura de construcciones elevadas, por arte
geométrica, sin subir a ellas. Tales se apoyó en un bastón; esperó hasta que, a
media mañana, la sombra de su bastón, mantenido en posición vertical, tuvo una
longitud igual a la del bastón; entonces dijo al enviado: «Ve y mide
rápidamente la longitud de la sombra de la pirámide: en este momento es tan
larga como la misma pirámide». Para ser
preciso, Tales tenía que haber dicho que añadiera a la sombra de la pirámide la
mitad del lado de su base, porque la pirámide tiene una ancha base que roba una
parte de la sombra que tendría si tuviera la forma de un palo fino y vertical;
puede que lo dijera, aunque la leyenda no lo refiere, quizá para no estropear
con demasiados detalles técnicos una respuesta tan bella en su
simplicidad.
Para no
complicar las cosas, vamos a pensar en un campanario fino y afilado en lugar de
una pirámide: tomemos un bastón, no importa de qué longitud, y a cualquier hora
del día (¡siempre que no esté nublado!) dispongámonos a medir el campanario:
con un
bastón, dos sombras y una
idea. Supongamos, en primer lugar,
que el campanario sea vertical, o sea erigido perpendicularmente al suelo, como
el de San Marco, y que no esté inclinado como la Torre de Pisa o la Garisenda
de Bolonia. Pongamos entonces también
vertical nuestro bastón y midamos su sombra (con un metro, por ejemplo, o si
queremos también con el mismo bastón, tomado como metro). Supongamos que encontramos que la sombra, por
ejemplo, es dos veces más larga que el bastón. Entonces, también la sombra del campanario
será en ese momento dos veces más larga que el campanario; para obtener la
altura del campanario, bastará, pues, con medir su sombra con un metro, y
dividir el número obtenido por dos. La
explicación geométrica es la siguiente: el bastón vertical, su sombra y el rayo
de sol que va de la punta del bastón al final de la sombra forman un triángulo rectángulo. El
campanario vertical, su sombra y el rayo de sol que va de la cima del
campanario hasta el extremo de su sombra forman otro triángulo rectángulo, que
tiene la misma forma que el anterior, porque los ángulos son iguales en los dos
triángulos (las sombras se han tomado en el mismo momento, por lo que los rayos
solares tienen la misma inclinación). Por lo tanto, se trata de dos triángulos
con la misma forma, o sea semejantes; el del campanario es por lo
tanto como el del bastón, pero de mayor
tamaño. Ya que los dos triángulos, como
hemos dicho, tienen la misma forma, al pasar del más pequeño al más grande se
tienen que respetar las proporciones: o sea que, si la sombra del bastón es el
doble del bastón, también la sombra del campanario será el doble del
campanario. Si queremos podemos medir
también sombra con sombra y altura con altura (campanario con bastón), en lugar
de comparar cada altura con su respectiva sombra. Es decir, que se podría razonar así: «Si la
sombra del campanario es cien veces más larga que la del bastón, entonces el
campanario es cien veces más alto que el bastón». Se dirá entonces que las
cuatro magnitudes: sombra del campanario, sombra del bastón, campanario y
bastón están en proporción en el orden dado, y una
frase como la que hemos puesto antes entre comillas asumirá la expresión
matemática más generalizada: «La sombra
del campanario es al campanario como la sombra del bastón al bastón», por lo
que se puede de una proporción obtener la otra, que tiene la misma validez que
la primera, cambiando entre sí de lugar las magnitudes intermedias, la segunda
y la tercera: es una de las reglas que permiten trabajar con proporciones, la
llamada permutación
de los medios.
Resumiendo,
en general «si dos triángulos tienen los ángulos iguales, los lados
correspondientes están en proporción»: o sea, que si un lado de uno de ellos es
igual a «tantas veces» el lado correspondiente del otro, entonces otro lado del
mismo triángulo será igual a «tantas veces» el lado correspondiente del otro
triángulo.
3. Historia y leyenda del teorema de Pitágoras.
Los
geómetras griegos llevaron a un grado altísimo de perfección técnica y lógica
el estudio de las proporciones entre magnitudes, y particularmente la
comparación entre figuras semejantes. Basaron en tal estudio no
sólo el cálculo de longitudes desconocidas (como la altura de la pirámide de
Keops), sino también el de las áreas de muchas figuras planas limitadas por
rectas, o el de los volúmenes de los sólidos limitados por planos. Para
comparar las áreas de dos figuras planas semejantes (o sea, de la misma forma)
hay que comparar no ya los lados correspondientes, sino los cuadrados de los lados
correspondientes. Un sencillísimo ejemplo os convencerá de ello.
Tomemos un
famoso ejemplo: el de Pitágoras y su teorema: «En un triángulo rectángulo, el
área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las
áreas de los cuadrados construidos sobre los dos catetos» (la hipotenusa es el
lado más largo, el que se opone al ángulo recto; los catetos son los dos lados
menores, «adyacentes» —o sea al lado— del ángulo recto). La leyenda dice que
Pitágoras se dio cuenta del alcance de su demostración hasta el punto de
ordenar una hecatombe, es decir, el sacrificio de cien bueyes a los dioses, en
señal de agradecimiento y de alegría. Naturalmente, sobre el descubrimiento de
Pitágoras no tenemos ni periódicos, ni libros, ni revistas de la época, porque
en esa época no había ni periódicos, ni libros, ni revistas. Sólo nos han
llegado leyendas, o mejor dicho historias contadas por escritores que vivieron
varios siglos después. Aun así, hay
muchas razones que nos hacen creer la «historia de Pitágoras». A lo mejor no se llamaba Pitágoras ni
sacrificó cien bueyes, sino uno solo, o a lo mejor ni siquiera sacrificó un
corderillo, todo eso puede ser una leyenda. Pero que un estudioso de la Magna Grecia (con
esta expresión se indicaban la Italia meridional y Sicilia), que vivió hacia el
año 600 a C, haya demostrado, con un razonamiento general, la relación que hoy
llamamos de Pitágoras entre los cuadrados de los catetos y el de la hipotenusa,
para cualquier tipo de triángulo rectángulo, creemos que es un hecho histórico,
o sea verdad. Sabemos con certeza que,
muchos siglos antes de Pitágoras, en Egipto y en Caldea había conocidos
ejemplos de triángulos rectángulos sobre los que se podía verificar
prácticamente la relación mencionada anteriormente. Por ejemplo, si los dos
catetos tienen de longitud 3 y 4 (metros o centímetros, etc., lo que se quiera
tomar como unidad de medida), se verifica con la experiencia que, entonces, la
hipotenusa mide 5 (con respecto a la misma unidad de medida). Después se comprueba que el cuadrado de 3 más
el cuadrado de 4 es igual al cuadrado de 5, o sea que: 32 +
42 = 9 + 16 = 25 = 52.
Por lo tanto, Pitágoras —con o sin hecatombe—
demostró realmente, sobre el 600 a.C, que «la suma de los cuadrados de los dos
catetos, en un triángulo rectángulo, es siempre igual, o, mejor dicho, equivalente, al cuadrado de la hipotenusa». Pero, aunque estemos convencidos de que fue
Pitágoras quien lo demostró, nos preguntamos: ¿cómo lo demostró?.
4. La demostración de Pitágoras, con dos descomposiciones distintas de un
cuadrado
La demostración del teorema de Pitágoras que se
suele estudiar en la escuela, no es ciertamente la de Pitágoras. En primer
lugar, es demasiado difícil para la época de Pitágoras: además, sabemos, gracias a un tal Proclo,
«comentarista» de los Elementos de Euclides, que tal demostración ha sido obra del mismo Euclides.
¿Entonces? La elección es difícil. En efecto, un matemático francés, Fourrey,
que a principios de nuestro siglo se dedicó a recopilar todas las
demostraciones conocidas del famoso teorema, consiguió reunir...unas cincuenta.
Nosotros creemos, sin embargo, que tiene razón un matemático, sobre 1700, Bretschneider, quien afirmaba, que la demostración
original de Pitágoras es la que vamos a exponer a continuación con la ayuda de
dos figuras.
En la primera figura tomamos el cuadrado
que tiene por lado A + B, suma de los dos segmentos A y B, y lo dividimos en
varias partes: el cuadrado del lado A, el del lado B, y dos rectángulos de
lados A y B; dividiendo por la mitad, con la diagonal, cada uno de los
rectángulos de lados A y B, obtenemos en su lugar cuatro triángulos rectángulos de
catetos A y B.
En la segunda figura tomamos el mismo cuadrado, o sea el cuadrado de la suma A + B, de dos segmentos A y B, pero lo descomponemos (lo cortamos en pedazos) de una forma distinta. Nos resultan así cuatro triángulos rectángulos de catetos A y B, pero esta vez obtenemos además un único cuadrado, el que tiene por lado la hipotenusa del triángulo rectángulo de catetos A y B.
Tenemos entonces dos cuadrados iguales (los
grandes, de lado A + B); si de ellos, tanto de uno como de otro, sacamos una
misma superficie, la de los cuatro triángulos rectángulos con catetos A y B,
las partes que nos quedan seguirán teniendo una superficie igual: pero las
partes que nos quedan son, en la primera figura, la suma de los cuadrados de
los catetos A y B, y en la segunda el cuadrado de la hipotenusa. Con el teorema
de Pitágoras queda demostrado que, «la suma de los cuadrados de los dos
catetos, en todo triángulo rectángulo, es siempre igual, o, mejor dicho, equivalente, al cuadrado de la hipotenusa».
Con base en la lectura, responde las siguientes preguntas:
A.
Grecia ya era adulta cuando la física, la química, la
biología y la geología todavía no habían nacido
B.
La medicina ya era adulta cuando la física, la química, la
biología y la geología todavía no habían nacido,
C.
La geometría ya era adulta cuando la física, la química, la
biología y la geología todavía no habían nacido
D. Grecia ya era adulta cuando
nació la medicina
2.
Según el texto, de las ciencias nombradas, ¿cuál es la
más antigua?
A. La aritmética B. La astronomía
C. La física D.
La geometría
3.
Del interrogante: ¿qué era de la astronomía de los
caldeos, de los egipcios y de los griegos sino geometría? Podemos concluir que
A.
En la astronomía de caldeos, egipcios y griegos se
aplicaba la geometría
B.
La astronomía de caldeos, egipcios y griegos no tenía
ninguna relación con la geometría
C.
Los caldeos aplicaban la astronomía mientras los griegos
y egipcios aplicaban la geometría
D.
La astronomía y la geometría no existían en Grecia y
Egipto
4.
¿Cuál es la razón por la que los antiguos pueblos
navegantes del mediterráneo tuvieron que convertirse en geómetras?
A.
Porque en la construcción de sus embarcaciones utilizaban
la geometría
B.
Porque los navegantes necesitan saber astronomía y la
astronomía implica geometría
C.
Porque la geometría existió antes que la navegación
D.
Porque fueron los navegantes los que a través de sus
viajes descubrieron la geometría.
5.
Quienes perfeccionaron la geometría considerándola como
la ciencia que acostumbra al hombre a RAZONAR fueron
A.
Los caldeos B. Los egipcios
C.
Los griegos D. Los
navegantes del mediterráneo
6.
Platón hizo escribir en la puerta de su escuela (la
academia) la frase “Dios geometriza”
con esto el gran filósofo quiso decir que
A.
Dios estableció la geometría
B.
El universo está constituido por formas geométricas
C.
Al cielo solo entran los que saben geometría
D.
Platón solo sabía de arte, política y lógica
7.
Cuando
Galileo Galilei afirma que para entender este gran libro que tenemos abierto
ante los ojos, es necesario aprender a entender la lengua y las características
en las cuales está escrito. Hace
referencia a
A. El
universo B. El libro de geometría
C. El
libro de lenguaje D. El libro de astronomía
8.
¿Qué estrategia utilizó Thales de Mileto cuando el faraón
le solicitó que calculara la altura de la pirámide de Keops?
A.
Usó un decámetro y se subió a la cima de la pirámide para
poderla medir
B.
Utilizó un bastón, lo colocó de manera vertical y esperó
que la sombra del bastón fuera igual a la longitud del bastón para luego medir
también la sombra de la pirámide y por el principio de proporcionalidad
concluyó que también la sombra de la pirámide era igual a la altura de la
misma.
C.
Usó un bastón para medir la sombra de la pirámide y como
la sombra de la pirámide era dos veces la longitud del bastón, midió el bastón
y lo multiplicó por dos.
D.
Colocó de forma vertical junto a la pirámide un bastón de
la misma altura que la pirámide y luego midió el bastón para así saber la
altura de la pirámide
9.
Según la estrategia que utilizó Thales de Mileto para
calcular la altura de la pirámide de Keops, podemos afirmar que, si a determinada
hora del día la sombra del bastón es 5 veces la longitud del bastón, a la misma
hora la sombra de la pirámide es
A.
Igual a la altura de la pirámide B. Igual a la longitud del bastón
C.
5 veces la longitud del bastón D. 5 veces la altura de la pirámide
10.
Si a la proporción formada entre la altura del campanario
(a), la altura del bastón (b), la sombra del campanario (c) y la sombra del
bastón (d) a/b = c/d
11. Según la
demostración de Pitágoras, si la figura muestra la estructura de tres zonas
cuadradas de una finca que deben dividirse entre dos propietarios de forma
equitativa, la forma correcta de repartir el terreno es
A.
La zona 1 para el propietario 1, la zona 2 para el
propietario 2, y la zona 3 se divide en partes iguales entre los dos
propietarios.
B.
La zona 3 para el propietario 1, la zona 2 para el
propietario 2 y la zona 1 se divide en partes iguales
C.
La zona 1 para el propietario 1 y las zonas 2 y 3 para el
propietario 2.
D.
La zona 1 y 2 para el propietario 1 y la zona 3 para el
propietario 2.
12.
Según Galileo Galilei, el universo está escrito en
lenguaje matemático y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras.
Explique qué quiere
decir Galileo con esa afirmación
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13. Asigne medidas tanto a la altura y a la sombra de la pirámide como a la altura y a la sombra del bastón de modo que sean proporcionales y escriba las razones que forman la proporción
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