FUNCIONES
MATEMÁTICAS
¿Con qué se comen?
IGNACIO BARRADAS - Doctor en matemáticas y biología. Realiza su trabajo científico en el Centro de Investigación en
Matemáticas (CIMAT), en Guanajuato, Gto
LA CIENCIA, COMO LA CONOCEMOS HOY EN DÍA, NO SERÍA CONCEBIBLE SIN EL CONCEPTO DE
FUNCIÓN, UNA FORMIDABLE HERRAMIENTA MATEMÁTICA QUE NOS PERMITE EXPRESAR MUCHAS
LEYES DE LA NATURALEZA Y SOLUCIONAR MULTITUD DE PROBLEMAS PRÁCTICOS EN LAS MÁS
DIVERSAS DISCIPLINAS.
NO ES FÁCIL explicar el éxito de los humanos como especie sin reflexionar sobre cuáles características le han
permitido conquistar la superficie terrestre y quizá en un futuro, otros mundos. Mucho se ha dicho sobre su
capacidad de crear herramientas, de hablar, de pensar en forma abstracta, de hacer arte. Una característica
común a todas estas y muchas otras actividades, es la de asociar cosas de cierta categoría, con cosas de otra
categoría. Se producen herramientas porque se les asocia con procesos útiles para el desarrollo de algún
trabajo. Para hablar, asociamos sonidos a conceptos en nuestra mente, los cuales a su vez están asociados a
ideas u objetos del mundo que nos rodea. "El mundo" para el ser humano es una gran colección de
asociaciones. En ejemplos más concretos, podemos ver que nuestra tendencia a asociar unas cosas con otras
es muy generalizada. Asociamos nombres distintos a lo que percibimos como sabores o colores diferentes. A
cada momento en el tiempo asignamos un número del 1 al 12 o del 1 al 24 para saber qué hora es y subdividimos
incluso esas unidades para hacer asociaciones cada vez más precisas...
Son numerosos los diferentes tipos de asociaciones que manejamos. Algunas son bastante libres, por ejemplo,
asociamos en el lenguaje varias palabras (sinónimos) al mismo objeto. Otras son de un tipo especial, por
ejemplo, las llamadas "asociaciones uno a uno", aquellas en las cuales para cada elemento de la primera
categoría existe uno y exactamente uno de la otra categoría que le corresponde. Tal es el caso de las
coordenadas geográficas fuera de los polos; hay una correspondencia entre cada punto en la Tierra y una única
terna de valores: longitud, latitud y altitud.
¿Será posible clasificar los diferentes tipos de asociaciones que manejamos y obtener mediante su estudio
información adicional? La respuesta es sí, y es el concepto matemático de función el que permite tal estudio.
LA FUNCIÓN DE LA FUNCIÓN
En matemáticas, el concepto de función se utiliza para describir relaciones entre elementos de conjuntos. En
este contexto a los elementos se les llama variables, pues al describir la relación entre ellos, se considera que
se les puede ir variando o tomando uno primero y otro después. El término función tiene una historia larga y su
significado se ha ido modificando para describir cosas cada vez más generales. Fue introducido por primera
vez en 1637 por el matemático francés René Descartes, quien lo usó para designar la potencia "n" de una
variable "x", lo que hoy en día escribiríamos como 𝑥
𝑛
, sólo que en aquel entonces esta notación no era usual.
De hecho, fue Descartes uno de los introductores de tal manera abreviada de escribir. Años más tarde, en 1694,
el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz usó el término función para referirse a distintos aspectos de
una curva. No fue sino hasta el siglo XIX, concretamente en 1829, que otro matemático alemán, Peter Dirichlet,
introdujo los conceptos de variable dependiente e independiente de una función entre los conjuntos A y B de
números. El término de variable independiente se usa aún hoy en día para denotar a los elementos del conjunto
A, ya que, aunque el elemento elegido puede variar sobre todos los elementos de A, esa variación es
independiente de cuál sea la relación entre los dos conjuntos. El término variable dependiente se aplica a los
elementos de B. Esto subraya el hecho de que dependen de la elección que se haya hecho del elemento en A
y de la relación entre los dos conjuntos.
En el transcurso del siglo XIX e inicios del XX, después de la introducción de la teoría de conjuntos, se vio que
resultaba conveniente definir el concepto de función en una forma que incluyera no sólo a funciones numéricas,
sino asociaciones mucho más generales.
Guadalajara = f(Jalisco)
En matemáticas una función consta, dicho de manera más o menos formal, de dos conjuntos, A y B, y una regla
de asociación entre ellos con las siguientes dos propiedades:
i) Para cada elemento de A existe un elemento de B que es su asociado.
ii) No hay elementos de A que tengan más de un asociado.
Al conjunto A se le conoce como el dominio de la función y al conjunto B como el codominio.
Como ejemplo de función podemos considerar al conjunto A como el de los números enteros del 1 al 10 y a B
como el conjunto de los números 1, 2 y 3. Una -regla de asociación puede ser: si un número es par, se asocia
al 2, si es impar se asocia al 1.
Ésta es una asociación de A a B que tiene las propiedades para ser una función; a cada elemento de A le
corresponde uno y sólo uno de los elementos de B. En este caso no sólo hay elementos de B que están
asociados a más de un elemento de A, sino que también hay un elemento en B, el 3, que no se asocia a ninguno
de los elementos de A. Esto no es problema, pues en la definición de función no se pidió que los elementos de
B estuvieran asociados a sólo un elemento de A o siquiera a elementos diferentes.
Es también importante observar que, si los conjuntos A o B en la definición de una función cambian, la función
cambia. Esto parecería una distinción ociosa, pero cuando se estudian tipos especiales de funciones, se ve que
su distinción puede depender fuertemente de los conjuntos A y B, y no solamente de la regla de asociación,
pues si se desea que una cierta propiedad se cumpla para todos los elementos de A o B, el verificarlo dependerá
de quién es A o quién es B.
Aunque en matemáticas se trabaja la mayor parte del tiempo con funciones que asocian valores numéricos con
valores numéricos, una función puede estar definida entre cualesquiera dos conjuntos. Considérese, por
ejemplo, al conjunto A como la totalidad de estados de la República Mexicana y al conjunto B como la totalidad
de ciudades del país. La regla de una función entre estos dos conjuntos podría ser que a cada estado le
corresponda su ciudad capital. Dado un estado, siempre hay una ciudad que es su capital, es decir, se satisface
la condición i). La condición ii) también se cumple, pues no hay estados de la República con dos o más capitales. En el conjunto B hay muchas ciudades más que las capitales, por lo que no todos los elementos de B están
asociados a alguno de A, pero sí todos los de A a alguno de B.
Si se toma un elemento x del conjunto A y se quiere denotar su asociado "y" en B bajo la función f, se acostumbra
escribir: 𝑦 = 𝑓(𝑥), lo cual se lee como "y es función de x". Cada vez que se sustituya un valor de x, se obtendrá
el correspondiente asociado, según la regla dada por la función. En el ejemplo de los estados y sus ciudades
tendríamos Guadalajara = f (Jalisco) y Morelia = f (Michoacán).
FUNCIONES NUMÉRICAS
En un gran número de casos, cuando se aplica el concepto de función para describir situaciones reales, los
conjuntos A y B entre los que se define la función, resultan ser conjuntos de números; a instantes del tiempo
asignamos temperaturas, valores de velocidad, humedad, etc. En general, la variable independiente será una
cantidad tal como tiempo, tamaño, posición, etc., y la variable dependiente será alguna propiedad que le
asignemos, como la temperatura, la edad, etc. En dichos casos hablamos de funciones numéricas y la citada
regla de asociación vendrá dada con frecuencia por una fórmula, del tipo 𝑓(𝑥) = 𝑥
2 − 3𝑥 + 5 , lo que debe ser
entendido así: cada vez que se elija un valor numérico x de A, le corresponderá el número que se obtenga de
sustituir x en la fórmula. Por ejemplo, si el conjunto A es el de todos los números positivos, al 5 se le asociará
el 15, ya que al sustituirlo en la fórmula se obtiene 𝑓(5) = 5^2 − 3(5) + 5 = 15. En el mismo ejemplo f(3) = 5, ya
que 𝑓(3) = 3^2 − 3(3) + 5 = 5. De la misma manera se encontrarían los asociados de los demás elementos.
Una razón muy importante de que las reglas de asociación vengan dadas a menudo en forma numérica es que
la ciencia en su versión actual intenta describir todo no sólo cualitativamente sino también cuantitativamente;
un evento se considera mejor entendido si se le pueden asociar cifras y, mejor aún, si se pueden hacer
predicciones de valores de las variables involucradas. Por ejemplo, en la meteorología nos interesa saber los
valores de temperatura, humedad, velocidad de viento, etc. que predominarán en una cierta región en los días
venideros. En la economía nos interesaría saber cómo van a variar los precios de bienes y servicios para invertir
en la opción más prometedora. En la química se desea saber cuánto de tal o cual sustancia y a qué temperatura,
presión, etc. generará tal cantidad de otra sustancia.
La utilidad de las funciones es muy amplia y variada. Imaginemos, por ejemplo, que se desea saber la
concentración de un contaminante en el lecho de un río, por ejemplo, del cadmio. Para ello se realizan un cierto
número de mediciones a intervalos de tiempo conocidos y se miden algunas otras variables como son
temperatura, densidad, volumen de agua que fluye, etc. Al analizar los datos se da uno cuenta de que las
cantidades parecen cumplir una cierta regla, la cual se puede expresar en términos de una función…
DE LA VISTA NACE EL AMOR A menudo se indica una función por medio de su
gráfica. Esto tiene razones prácticas de ser y resulta
muy cómodo. Tal es el caso de mediciones de
temperatura, -presión, altura de las mareas o
velocidad del viento, por mencionar sólo algunos
ejemplos.
El ser humano tiene una gran habilidad para
interpretar la información que se le presenta en forma
visual. Si vemos la gráfica de un proceso, tal como la
de la variación de la temperatura diaria en un lugar o
la del indicador bursátil, podemos reconocer ciertas
tendencias. De la misma manera, si queremos
recalcar tendencias en el comportamiento de un
fenómeno, ya sea oscilatorio, o de incremento o
decremento, lo podremos argumentar presentando la
información en forma gráfica, es decir, mostrando la
gráfica de lo que creemos que es la función que
describe el proceso. Quien haya visto una gráfica del
crecimiento de la población en nuestro país o en el
mundo se podrá dar cuenta inmediatamente que
muestra lo que los demógrafos llaman crecimiento
exponencial, es decir, un crecimiento cada vez más
rápido.
¿Cómo se grafica una función?
Veamos un par de ejemplos. Si se tiene una función, f, para la cual tanto el
conjunto dominio de la función, A, como el codominio, B, son conjuntos de números, podemos recurrir a las
ideas de la geometría analítica para representarla gráficamente. Para ello se utilizan las llamadas coordenadas
cartesianas: se trazan dos rectas perpendiculares, la primera de las -cuales se dibuja por lo general
horizontalmente y se denota como el eje x, la recta vertical se denota como eje y. Estando ambos ejes marcados
cada uno por una unidad específica (de distancia, tiempo, etc.) y subdivididos en las fracciones que sea
necesario, se procede a buscar todos los puntos de coordenadas (x, y) donde y=f x). Por ejemplo, la gráfica
de la función y=2x es una recta que pasa por el origen (el punto donde x y y son iguales a cero) y que tiene
pendiente 2; es decir, cualquier punto de la recta se encuentra al doble de distancia del eje horizontal que del
vertical. La función cuadrática 𝑦 = 𝑎𝑥
2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 , con a diferente de 0, es una parábola.
La función y = 2x podría representar la posición
de un objeto que se mueve a velocidad
constante (en el eje x se representa el tiempo y
en el eje y la posición), o bien la fuerza ejercida
por un resorte comprimido (el eje x corresponde
a qué tan comprimido está y el eje y a la fuerza
que el resorte ejerce).
La función cuya gráfica es una parábola puede ser
la representación de la distancia (eje y) que
recorre un objeto en caída libre en función del
tiempo (eje x), o la resistencia del aire (eje y) que
afecta a un avión en función de la velocidad (eje x)
a la que va.
¿FUNCIÓN O ECUACIÓN?
En muchos casos concretos la regla de asociación de una función viene dada en forma de una fórmula o
ecuación. Esto hace en ocasiones difícil distinguir los conceptos de función y ecuación. Ya vimos que una
función consta de un par de conjuntos y una regla de asociación. En el caso de la ecuación tenemos solamente
una igualdad entre dos expresiones que normalmente involucra cantidades desconocidas, llamadas también
variables. Las variables se denotan usualmente por las últimas letras del alfabeto (otra idea original de
Descartes). Así, por ejemplo, las ecuaciones x-4=8, y=sen(x), y x=cos(y+z)/4 son ecuaciones en una,
dos y tres variables, respectivamente. Se dice que una ecuación se satisface si al reemplazar las variables con
los valores correspondientes la igualdad se verifica. Ejemplo, la ecuación 2x + 5 = 13 se satisface para x = 4.
Así pues, aunque los conceptos de ecuación y el de función están fuertemente relacionados, es importante
distinguir que en el primer caso se trata sólo de una igualdad, mientras que en el segundo se involucran dos
conjuntos y una regla de asociación, que puede venir dada en forma de ecuación. Así, por ejemplo, tenemos la función y = 2x podría representar la posición
de un objeto que se mueve a velocidad
constante (en el eje x se representa el tiempo y
en el eje y la posición), o bien la fuerza ejercida
por un resorte comprimido (el eje x corresponde
a qué tan comprimido está y el eje y a la fuerza
que el resorte ejerce). La función cuya gráfica es una parábola puede ser
la representación de la distancia (eje y) que
recorre un objeto en caída libre en función del
tiempo (eje x), o la resistencia del aire (eje y) que
afecta a un avión en función de la velocidad (eje x)
a la que va.
que para un triángulo de base b, altura h y área A, se satisface la siguiente ecuación 𝐴 = (𝑏×ℎ)/2. Esta expresión
en particular nos dice que el valor del área de un triángulo está en función de su base y su altura. Aunque para
describir eso como una función necesitamos especificar qué elementos constituyen a los conjuntos A y B. Sin
conjuntos en los cuales esté definida la relación tenemos una ecuación, no una función.
DE LO COMPLEJO A LO SIMPLE
… Existen muchos tipos de funciones y su clasificación tomaría mucho espacio, baste decir que un tipo muy
importante es aquel cuya regla de asociación no se define en forma explícita, sino a través de alguna condición
que la función debe satisfacer. Usualmente esto corresponde a una ley de la naturaleza. Más aún, se puede
decir que el cálculo diferencial e integral fue inventado para encontrar funciones que satisficieran ciertas leyes
de la naturaleza…
El concepto de función es pues no sólo uno de los pilares de la matemática moderna, sino de la ciencia en su
conjunto. Sin él no se podría concebir la construcción del conocimiento científico como se hace hoy en día.
Agradecimientos a la Docentes Mariela Arciniegas del Instituto de Promoción Social de Piedecuesta, Santander, Colombia quien fue la encargada de preparar el Plan Lector.
DESPUÉS DE REALIZAR LA LECTURA, RESPONDA LAS PREGUNTAS:
1. En la lectura, el autor presenta:
A. un análisis de la presencia de las funciones en la ciencia y la construcción del conocimiento en diversas
disciplinas del ser humano
B. un concepto de función matemática
C. la definición de función como algo netamente de las matemáticas numéricamente hablando
D. funciones científicas que nada tienen que ver con la definición de función matemática
2. En la frase: …” El mundo, para el ser humano es una gran colección de asociaciones” …el autor busca
resumir:
A. la explicación del éxito del ser humano
B. características comunes a muchas actividades del ser humano en diferentes campos, donde al asociar
cosas de cierta categoría, con cosas de otra categoría, le permiten producir herramientas con procesos
útiles para el desarrollo de algún trabajo
C. la capacidad del ser humano de hablar y pensar en forma abstracta
D. el concepto de función matemática
3. A la pregunta: ¿Será posible clasificar los diferentes tipos de asociaciones que manejamos y obtener
mediante su estudio información adicional?, su respuesta es:
A. sí, y nada tiene que ver el concepto matemático de función para tal estudio
B. no, porque es muy diferente manejar temas de ciencias a temas de sociales o arte
C. sí, y es el concepto matemático de función el que permite tal estudio
D. no, y es que el concepto matemático de función, es netamente abstracto
4. Quien introdujo los conceptos de variable dependiente e independiente de una función entre los conjuntos
A y B de números, fue el matemático
A. francés, René Descartes en 1637
B. alemán, Gottfried Wilhelm Leibniz en 1694
C. mexicano, Ignacio Barradas, doctor en matemáticas y física, en el siglo XX
D. alemán, Peter Dirichlet, hasta el siglo XIX, concretamente en 1829
5. De las siguientes afirmaciones, es o son verdaderas:
I. Una función consta de dos conjuntos y una regla de asociación
II. Para cada elemento del primer conjunto, existe un elemento del segundo conjunto que es su
asociado
III. Hay elementos del primer conjunto que no tienen asociado
IV. No hay elemento del primer conjunto que tenga más de un asociado del segundo conjunto
A. I, II y IV
B. I y IV
C. I, II y III
D. II y III
6. La representación gráfica correcta para la siguiente función: “podemos considerar al conjunto A como el de
los números enteros del 1 al 10 y a B como el conjunto de los números 1, 2 y 3. Una -regla de asociación
puede ser: si un número es par, se asocia al 2, si es impar se asocia al 1”, es:
7. Una razón muy importante para que las reglas de asociación vengan dadas a menudo en forma numérica
es, que:
A. las matemáticas son una ciencia exacta
B. solo existe la forma numérica para las ciencias de explicar cualquier evento
C. la ciencia intenta describir todo no sólo cualitativamente sino cuantitativamente
D. es imposible mostrar gráficamente cualquier función en las ciencias
8. La gráfica NO REPRESENTA la función que se genera al tener
A. la distancia que recorre un objeto en caída libre en función del tiempo
B. la resistencia del aire que afecta a un avión en función de la velocidad a la que se desplaza
C. el área de una valla para un anuncio publicitario
D. la fuerza ejercida por un resorte comprimido (el eje x corresponde a qué tan comprimido está y el eje y
a la fuerza que el resorte ejerce).
9. El concepto de ecuación se refiere a:
A. sólo una igualdad con valores desconocidos
B. involucran dos conjuntos y una regla de asociación
C. la relación entre dos magnitudes en ciencias
D. la forma práctica de entender una función
10. Frecuentemente, se grafica funciones. Esto es, porque:
A. los seres humanos somos meramente visuales
B. resulta muy práctico y cómodo para el ser humano que tiene una gran habilidad para interpretar la
información que se le presenta en forma visual
C. es muy fácil reconocer funciones matemáticas
D. es importante encontrar ecuaciones en la ciencia y resolverla
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