MATEMÁTICAS Y AJEDREZ

Tomado:  Ecuaciones de Opinión - 24 de septiembre 2020 - Matemáticas y Ajedrez - José Ignacio Mantilla - https://blogs.elespectador.com/actualidad/ecuaciones-de-opinion/matematicas-y-ajedrez

Desde su invención, el juego del ajedrez ha atraído como un imán no solo a los aficionados, sino también a los matemáticos, bien sea por su tablero que tiene un especial atractivo para los amantes de los “cuadrados mágicos” o por sus reglas que originan acertijos de variados grados de dificultad.

El ajedrez está ligado a las matemáticas y ha sido una fuente de inspiración de múltiples problemas y retos matemáticos, algunos de los cuales tienen fama universal.

La conocida historia acerca de su invención es ya un excelente ejemplo del significado de “crecimiento exponencial”, que hoy en día se usa tan frecuente y erróneamente como expresión.  Para quienes no conozcan esta maravillosa historia, se las cuento brevemente a continuación.

Cuando el creador del juego del ajedrez, un legendario matemático de la India, de nombre Sessa, le presentó su invento a un poderoso rey de Oriente, éste quedó tan maravillado que le ofreció la recompensa que quisiera.  Sessa le pidió entonces al rey algo que parecía bastante humilde: que por el primer cuadro del tablero le diera un grano de trigo, por el segundo dos granos, por el tercero el doble del anterior, o sea 4, y así sucesivamente hasta el último con el doble de granos del penúltimo. El rey ordenó que hicieran la cuenta y entregaran a Sessa un costal con el trigo que había pedido.

Pero al rato, cuando los tesoreros del reino terminaron las cuentas, tuvieron que informar al rey que era imposible satisfacer a Sessa con esa recompensa, lo que molestó al rey.

En efecto, el inventor pedía lo correspondiente a la suma de potencias de 2, desde 2° = 1 hasta 2 elevado a la potencia 63.  Esa suma es igual a: 

Si escribimos en palabras esta cantidad, debemos decir: dieciocho trillones cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones setenta y tres mil setecientos nueve millones quinientos cincuenta y uno mil seiscientos quince granos de trigo.

Para tener una idea de la cantidad de trigo solicitado, vamos a estimarlo en toneladas métricas (TM) sabiendo que en un kilogramo de trigo hay aproximadamente 20 000 granos.  Entonces, dividiendo la cantidad de granos entre 20 000 obtenemos la cifra en kilogramos y dividiendo esa cifra entre 1000 pasamos a toneladas métricas.  El resultado es el siguiente: 

922 337 203 685 Tm. 

El ajedrez, como lo decía al principio, también es fuente de problemas muy interesantes que surgen de las reglas para mover las fichas por el tablero.  Uno, muy entretenido, que me gusta mucho y que solía incluir en los cursos de Análisis Numérico a mi cargo, es el problema de las 8 reinas, propuesto por el alemán Max Bezzel en 1848. 

Consiste en ubicar 8 reinas en el tablero de ajedrez sin que se ataquen, respetando las reglas del juego, es decir sabiendo que la reina se puede desplazar vertical, horizontal o diagonalmente.  En realidad, el problema se reduce a situar 8 fichas en el tablero de tal manera que no haya dos en la misma columna, fila o diagonal.

Uno de los primeros en entretenerse con este reto y resolver el problema fue Gauss, lo que no debe extrañar a nadie. 

Encontrar una solución significa haber encontrado otras 4 posiblemente, pues la rotación del tablero puede revelar nuevas soluciones.  Pero inventar un algoritmo para encontrar una solución es un problema sumamente didáctico para los estudiantes que están aprendiendo a programar, por ejemplo. Más difícil resulta encontrar todas las soluciones posibles, lo que también se logra modificando el primer algoritmo. 

El número total de soluciones de este problema es 92, pero si no se tienen en cuenta los giros del tablero, de 90, 180 y 270 grados, ni las simetrías, solo hay en total 12 soluciones.  Sin duda este es un buen reto para los lectores en el fin de semana.

Uno de los problemas más famosos y fascinantes es el que se conoce bajo el nombre de “problema del caballo de ajedrez”.  Consiste en intentar recorrer todos los cuadros del tablero con un caballo, que como se sabe, se mueve en “L”, pero sin repetir ninguno.  ¿Es esto posible?

El primero en dar una respuesta positiva fue el gran matemático Leonhard Euler, quien presentó en 1759, ante la Academia de Ciencias de Berlín una solución bellísima.

Euler numeró los cuadros en el orden en que se debe desplazar el caballo por todo el tablero, desde 1 hasta 64, como lo indica la figura.

La combinación de ajedrez y matemáticas, como se puede comprobar a partir de estos ejemplos, está llena de sorpresas y de historias increíbles y geniales.

De acuerdo a la lectura:

1.       El juego del ajedrez ha atraído como un imán a aficionados y matemáticos.  Esta afirmación se sustenta:

A.     porque es un juego o pasatiempo que requiere agilidad mental y se juega entre 2 personas y supera a los demás juegos.

B.      porque es considerado en juego ciencia donde se  combina la exactitud matemática con la intuición y el arte de la perfección, lo cual ninguna otra actividad intelectual puede alcanzar.

C.      por su tablero que tiene un atractivo para los amantes de los cuadrados mágicos o por sus reglas que originan variados acertijos.

D.     porque al jugarlo en este mundo tan convulsionado, nos distrae y nos hace olvidar momentáneamente las preocupaciones de la vida diaria.

2.       La conocida historia acerca de su invención es considerada ya un ejemplo del significado de “crecimiento exponencial” porque

A.     el legendario matemático le presentó su invento a un poderoso rey de Oriente.

B.      El rey de Oriente quedó tan maravillado que le ofreció una recompensa.

C.      la cantidad de granos en cada casilla del tablero aumentaba de tal manera que al llegar a la última casilla el número de granos era infinito e imposible de escribir.

D.     a partir de la primera casilla la cantidad de granos se duplicaba, aumentando de tal manera que al llegar a la última casilla el número de granos era una cantidad muy grande.

 

 

3.       No corresponde a la petición que hizo Sessa al rey:

A.     Por el primer cuadro del tablero entregara un grano de trigo, por el segundo dos, por el tercero el doble del anterior o sea 4, y así sucesivamente hasta el último con el doble de granos del penúltimo.

B.      Entregar un grano de trigo por la primera casilla del tablero, el doble del número de granos para la segunda casilla y así sucesivamente hasta completar la última casilla con el doble del número de granos de la penúltima casilla.

C.      Por la primera casilla del tablero entregar 2⁰ grano de trigo, por la segunda casilla 2¹ granos de trigo, por la tercera casilla 2² granos de trigo, y así sucesivamente hasta 2⁶³ granos de trigo en la última casilla.

D.     Entregar un costal con el número de granos de trigo según el número de casillas y aumentado siempre de la siguiente manera: entregar 1 grano para la primera casilla, (1+ 2) granos para la siguiente casilla, (1+2+4) granos para la tercera casilla, (1+2+4+8) para la cuarta casillas y así sucesivamente hasta llegar a la última casilla.

 

4.       El inventor lo que pidió al rey fue

A.     un costal lleno con muchos granos de trigo.

B.      la suma de granos de trigo correspondiente a las potencias de 2, desde la potencia 0 hasta la potencia 63.

C.      mantener ocupados a los tesoreros del reino reuniendo la gran cantidad de granos de trigo.

D.     presentar su invento al legendario rey del Oriente.

 

5.       El número total de granos de trigo que tendría el tablero si se mira hasta la casilla 12 es:

 

A.     4096 granos B.  4095 granos C. 2048 granos D. 1024 granos

 

6.       Una de las principales ideas de la lectura es

A.     mostrar la genialidad de Sessa y cómo quiso burlar al rey..

B.      mostrar como un problema tiene muchas soluciones, como es el caso del problema de las 8 reinas, que tiene 92.

C.      La unión entre las matemáticas y el ajedrez que, con sus reglas, son fuente de diversos problemas.

D.     la importancia de personajes como Sessa, el rey, Gauss, Euler, entre otros.

7.       Según  La Organización de las Naciones Unidas para la Alimentación y la Agricultura, ONUAA, o más conocida como FAO, organismo especializado de la ONU que dirige las actividades internacionales encaminadas a erradicar el hambre, estima que la producción mundial de trigo 2020/2021 será de 763 Mt (millones de toneladas de producción). 

 

Y como la cantidad de trigo solicitada por Sessa fue de  922 337 203 685,  esto quiere decir que en años para la recolección, se necesitarían

A.  12 años

B.  102 años

C.  1209 años

D.  2000 años

 

8.     En el problema de las 8 reinas, propuesto por el alemán Max Bezzel en 1848 que consistía en ubicar 8 reinas en el tablero de ajedrez sin que se ataquen, respetando las reglas del juego, es decir sabiendo que la reina se puede desplazar vertical, horizontal o diagonalmente. 

 

No representa una solución a este problema:

9.       El problema del caballo de ajedrez, fue resuelto por el gran matemático Leonhard Euler.  Quien presentó los desplazamientos del caballo por todo el tablero.  Los primeros movimientos que debe realizar el caballo, en la solución presentada por Euler fue:

10.       La solución al problema del caballo de ajedrez, que consistía en intentar recorrer todos los cuadros del tablero con un caballo, que como se sabe, se mueve en “L”, pero sin repetir ninguno y en la que Euler numeró los cuadros en el orden en que se debe desplazar el caballo por todo el tablero, desde 1 hasta 64, como lo indica la figura.

Esta solución no solo es maravillosa porque muestra el recorrido del caballo sino porque:

A.     El tablero muestra como es posible completar los números del 1 al 64 sin repetir ninguno.

B.      Construyó un cuadrado mágico en el que  cada una de las filas y columnas suman 260, más aún,  cada uno de los 4 cuadrados indicado con distinto color en la figura  también son mágicos, cuyas filas y columnas suman la mitad del cuadrado grande 130.

C.      Al mirar cada cuadrado con los números que contienen vemos son todos considerados números mágicos.

D.     Al sumar los números de las diagonales del cuadrado grande, ésta suma es igual y así mismo la suma de las diagonales de los subcuadrados indicados con distinto color en la figura.

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